求解模线性方程组

求解线性不定方程组

ax + by = c 先求出一组解， 然后考虑如何表示通解， 设d = gcd(a, b), 假设c不是d的倍数， 则左边是d的倍数而右边不是， 则方程无解， 所以方程有解当且仅当d | c. 设c = c’ * d, 我们先考虑方程 ax + by = d, 这样由扩展gcd便可求出一组解 （x’, y’), 则（c’x’, c’y’)就是原方程的一组解，然后考虑通解：
假设有两组解(x1, y2) , (x2, y2), 有 ax1 + by1 == ax2 + by2 = c, 移项得： a(x1 - x2) == b(y2 - y1), 消去d后有 a’(x1 - x2) == b’(y2 - y1),
此时a’ 和 b’ 互素， 所以（x1 - x2)一定是b’的倍数， 而(y2 - y1)一定是a’的倍数， 由此可得到通解：给一组特解(x, y), 通解为(x - kb’, y + ka’).

求解模线性方程

ax = b(mod n) 其实方程等价于 ax - ny = b, 标准模线性方程，但是得考虑剩余系。 算法导论上有两个定理： 定理一：设d = gcd(a, n), 假定对整数x’, y’, 有d = ax’ + ny’， 如果d | b, 则方程ax = b(mod)有一个解的值为x0, 满足：、 x0 = x'(b / d)(mod n) 定理二：假设方程ax = b(mod n)有解， x0是方程的任意一个解， 则方程对模n恰有d个不同的解， 分别为： xi = x0 + i * (n / d), 其中 i = 1,2,3……d - 1 有了这两个定理， 解方程就不难了。

代码实现

扩展欧几里得算法

ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y) { if(b==0) { x=1; y=0; return a; } ll r=exgcd(b,a%b,x,y); ll t=x; x=y; y=t-a/b*y; return r; }

求解模线性方程求的的只是一组解给一组特解(x, y), 通解为(x - kb’, y + ka’).改代码返回满足x>0&&y>0的最小解。

bool linear_equation(ll a,ll b,ll c,ll &x,ll &y) { ll d=exgcd(a,b,x,y); if(c%d) return false; ll k=c/d; x*=k; y*=k; //求得的只是其中一组解 ll b1 = b/d; ll a1 = a/d; ll i = 0; //cout< if(y<0){ while (y<=0){ y+=a1; x-=b1; } } while (y-a1>=0){ y-=a1; x+=b1; } if(y>=0&&x>=0){ return true; } else{ return false; } }

中国剩余定理求解模线性方程组

互质版本

中国剩余定理是中国古代求解一次同余方程组的方法，是数论中的一个重要定理。
设m1，m2，m3，…，mk是两两互素的正整数，即gcd(mi,mj)=1，i!=j，i,j=1,2,3,…,k.
则同余方程组： x = a1 (mod n1) x = a2 (mod n2)
… x = ak (mod nk) 模[n1,n2,…nk]有唯一解，即在[n1,n2,…,nk]的意义下，存在唯一的x，满足： x = ai mod [n1,n2,…,nk], i=1,2,3,…,k。 解可以写为这种形式：
x = sigma(ai* mi*mi’) mod(N)
　
其中N=n1*n2*…*nk，mi=N/ni，mi’为mi在模ni乘法下的逆元。

非互质版本采用方程合并的思想

// // Created by 王若璇 on 16/7/11. // //中国剩余定理,非互质版本 #include #include #include #include using namespace std; typedef long long ll; ll gcd(ll a,ll b){ return b==0?a:gcd(b,a%b); } ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y) { if(b==0) { x=1; y=0; return a; } ll r=exgcd(b,a%b,x,y); ll t=x; x=y; y=t-a/b*y; return r; } ll cal(ll a,ll m){ ll x,y; ll r = exgcd(a,m,x,y); if(1%r!=0){ return -1; } //x*=1/r; //m = abs(m); ll ans = (x%m+m)%m; //if(ans<=0) ans+=m; return ans; } bool merge(ll a1,ll r1,ll a2,ll r2,ll &aa,ll &rr){ ll d = gcd(a1,a2); ll c = r2-r1; if(c%d!=0){ return false; } c = (c%a2+a2)%a2; c/=d; a1/=d; a2/=d; c*=cal(a1,a2); c = c%a2; c*=a1*d; c+=r1; aa = a1*a2*d; rr = c; return true; } int main(){ ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(NULL); int n; while (cin>>n){ ll k,m; cin>>k>>m; bool flag = true; ll a,r,aa,rr; for(int i = 1;icin>>a>>r; if(flag&&merge(k,m,a,r,aa,rr)){ k = aa; m = rr; } else{ flag = false; } } if(flag){ cout<<(rr%aa+aa)%aa<else{ cout<<-1<return 0; }